I. Đường đẳng giác và đường đối trung
Đường đẳng giác và đường đối trung là hai khái niệm quan trọng trong hình học tam giác. Đường đẳng giác được định nghĩa là hai tia đối xứng qua tia phân giác của một góc. Đường đối trung là đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đường phân giác trong của tam giác. Các tính chất của chúng được sử dụng rộng rãi trong các bài toán hình học phức tạp.
1.1 Định nghĩa đường đẳng giác
Cho góc xAy, hai tia Az và At được gọi là đẳng giác nếu chúng đối xứng nhau qua tia phân giác của góc xAy. Định lý 1 chứng minh rằng trong tam giác ABC, hai đường đẳng giác AA' và AA'' thỏa mãn tỉ lệ BA'/CA' = BA''/CA''. Điểm M' được gọi là điểm đẳng giác của điểm M nếu các đường thẳng AM', BM', CM' đối xứng với AM, BM, CM qua các đường phân giác trong của các góc A, B, C.
1.2 Tính chất đường đẳng giác
Các tính chất của đường đẳng giác bao gồm: (1) Cho tam giác ABC và hai đường thẳng Ax, Ay đẳng giác trong góc BAC. (2) Cho góc xOy và hai đường thẳng OA, OB đẳng giác trong góc xOy. Các tính chất này được sử dụng để chứng minh các điểm đồng viên và các đường thẳng vuông góc.
II. Đường đối trung trong tam giác
Đường đối trung là đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đường phân giác trong của tam giác. Đường đối trung chia cạnh đối diện của tam giác theo tỉ lệ bằng bình phương tỉ lệ hai cạnh bên. Các đường đối trung của một tam giác đồng quy tại điểm Lemoine, một điểm quan trọng trong hình học tam giác.
2.1 Định nghĩa đường đối trung
Trong tam giác ABC, đường thẳng AX đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác trong AD gọi là đường đối trung của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A. Điều kiện để AX là đường đối trung là XB/XC = AB²/AC².
2.2 Tính chất đường đối trung
Các tính chất của đường đối trung bao gồm: (1) Đường đối trung chia cạnh đối diện theo tỉ lệ bình phương hai cạnh bên. (2) Các đường đối trung của một tam giác đồng quy tại điểm Lemoine. Điểm Lemoine có các tính chất đặc biệt như khoảng cách từ nó đến các cạnh tỉ lệ với độ dài các cạnh đó.
III. Ứng dụng và bài tập
Các khái niệm đường đẳng giác và đường đối trung được áp dụng trong nhiều bài toán hình học, đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi. Các bài tập thường yêu cầu chứng minh các tính chất liên quan đến điểm Lemoine, đường đối song, và các đường tròn liên quan.
3.1 Bài tập ứng dụng
Bài 1 (HSG Chuyên Bến Tre 2021): Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau tại O'. Gọi I là điểm trên (O') nhưng ngoài (O). Các đường thẳng IA, IB cắt (O) tại C, D. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng I, M, O' thẳng hàng.
3.2 Bài tập nâng cao
Bài 2 (VMO 2015): Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên (O), BC không là đường kính. Điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC. Cho (I) là đường tròn thay đổi đi qua E, F và có tâm I. Giả sử (I) tiếp xúc với BC tại điểm D. Chứng minh rằng DB/DC = cotB/cotC.
