Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua nội dung bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10

Mô hình hóa toán học không chỉ đơn thuần là việc áp dụng công thức để giải bài tập. Nó là một quá trình phức tạp bao gồm nhiều bước, từ việc xác định vấn đề, xây dựng mô hình, giải quyết mô hình, đến việc kiểm tra và đánh giá kết quả. MHH giúp HS phát triển khả năng tư duy logic, khả năng giải quyết vấn đề, và khả năng làm việc nhóm. Theo [5], các thành tố của năng lực MHH trong dạy học Toán gồm: đơn giản giả thiết toán học, loại bỏ các yếu tố phi toán học, xử lý điều kiện của bài toán; làm rõ mục tiêu bài toán, hiểu tính thực tế của bài toán. MHH đòi hỏi học sinh cần phải trang bị đầy đủ các kĩ năng và thao tác tư duy Toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa.

Bất đẳng thức lớp 10, đặc biệt là bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz, là những công cụ hữu ích trong việc xây dựng mô hình toán học cho nhiều vấn đề thực tế. Ví dụ, HS có thể sử dụng bất đẳng thức để tối ưu hóa chi phí sản xuất, tìm ra phương án đầu tư hiệu quả nhất, hoặc giải quyết các bài toán liên quan đến quy hoạch tuyến tính. MHH thể hiện mối quan hệ giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội với nội dung kiến thức Toán học trong SGK thông qua ngôn ngữ Toán học như ký hiệu, phương trình, công thức, đồ thị, sơ đồ. Cụ thể đối với chuyên đề BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn có mối liên hệ chặt chẽ với các hiện tượng thực tiễn và có ứng dụng trong nhiều trong đời sống.

Một trong những khó khăn lớn nhất là sự trừu tượng của toán học. HS cần phải có khả năng trừu tượng hóa để đơn giản hóa các vấn đề phức tạp, nhưng không phải ai cũng có thể làm được điều này. Ngoài ra, việc thiếu kiến thức và kỹ năng toán học cũng là một rào cản lớn. Hơn nữa, nhiều bài toán hầu như mới chỉ được xây dựng theo các tình huống giả định mà chưa xuất phát từ những tình huống thực tế sinh động [7]. Theo Nguyễn Danh Nam đã đề cập đến nhiều vấn đề của MHH toán học từ phương pháp, quy trình, cách thiết kế, những ưu điểm của mô hình hoá 3 đến những thuận lợi những khó khăn mà giáo viên và học sinh sẽ gặp phải trong quá trình thực hiện [8], [9].

Để giúp HS vượt qua những khó khăn này, giáo viên cần áp dụng các phương pháp dạy học tích cực, khuyến khích HS tham gia vào quá trình xây dựng mô hình và giải quyết vấn đề. Giáo viên cũng cần cung cấp sự hỗ trợ và hướng dẫn kịp thời, giúp HS hiểu rõ các khái niệm và kỹ năng toán học cần thiết. Tác giả Lê Thị Hoài Châu cũng chỉ ra đầy đủ khái niệm MHH toán học, đưa ra sơ đồ tóm lược các bước của MHH, phân biệt dạy học mô hình hoá và dạy học bằng mô hình hoá [3], [6]. Giáo viên nên sử dụng các ví dụ thực tế và bài tập có tính ứng dụng cao để giúp HS thấy được sự liên quan giữa toán học và cuộc sống.

Ở bước này, HS cần đọc kỹ đề bài, xác định các thông tin quan trọng, và hiểu rõ yêu cầu của bài toán. HS cũng cần xác định các biến số và các mối quan hệ giữa chúng. Ví dụ, trong một bài toán về tối ưu hóa chi phí sản xuất, HS cần xác định các biến số như số lượng sản phẩm, giá nguyên liệu, chi phí vận chuyển, v.v.

Sau khi đã xác định được các yếu tố quan trọng, HS cần chuyển đổi vấn đề thực tế sang ngôn ngữ toán học. Điều này có thể bao gồm việc sử dụng các bất đẳng thức để mô tả các ràng buộc, hoặc sử dụng các hàm số để biểu diễn các mối quan hệ. HS cần lựa chọn các công cụ toán học phù hợp với từng bài toán cụ thể. MHH đã được nhiều nhà toán học, khoa học, nhà giáo dục nghiên cứu và ứng dụng. Sơ đồ trên cho thấy, từ một mô hình trong thế giới thực người thực hiện cần chuyển sang thế giới toán học hoặc tạo ra một mô hình toán học, sau đó giải bài tập toán,...

Sau khi đã xây dựng được mô hình toán học, HS cần giải quyết mô hình đó bằng các phương pháp toán học phù hợp. Sau khi có được kết quả, HS cần đánh giá kết quả đó trong bối cảnh thực tế. Nếu kết quả không hợp lý, HS cần quay lại bước 2 để điều chỉnh mô hình. Ví dụ, HS có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số, sau đó kiểm tra xem giá trị đó có phù hợp với các ràng buộc của bài toán hay không.

Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Chi phí sản xuất mỗi sản phẩm A là x đồng, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm B là y đồng. Tổng chi phí sản xuất không vượt quá M đồng. Hãy tìm số lượng sản phẩm A và B cần sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận, biết rằng lợi nhuận từ mỗi sản phẩm A là a đồng, lợi nhuận từ mỗi sản phẩm B là b đồng. HS có thể sử dụng bất đẳng thức để mô tả ràng buộc về chi phí sản xuất, và sử dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính để tìm ra phương án sản xuất tối ưu.

Một người muốn xây một hàng rào bao quanh một khu vườn hình chữ nhật có diện tích S. Hãy tìm kích thước của khu vườn để chi phí xây hàng rào là nhỏ nhất. HS có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm ra kích thước của khu vườn sao cho chu vi là nhỏ nhất, từ đó chi phí xây hàng rào là nhỏ nhất.

HS nên tìm kiếm và giải nhiều bài tập có tính ứng dụng cao, từ các nguồn tài liệu khác nhau. HS cũng nên tự đặt ra các bài toán thực tế và cố gắng giải quyết chúng bằng các công cụ toán học. Điều này giúp HS rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo và khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.

Học tập nhóm và thảo luận là một cách hiệu quả để học hỏi lẫn nhau. HS có thể chia sẻ kinh nghiệm, trao đổi ý tưởng, và cùng nhau giải quyết các bài tập khó. Điều này giúp HS phát triển khả năng làm việc nhóm và khả năng giao tiếp.

MHH không chỉ là một kỹ năng mà còn là một tư duy. Nó giúp HS nhìn nhận các vấn đề một cách toàn diện, phân tích các yếu tố quan trọng, và đưa ra các giải pháp sáng tạo. MHH cũng giúp HS phát triển khả năng tự học và khả năng thích ứng với sự thay đổi của thế giới.

Trong tương lai, cần có thêm nhiều nghiên cứu về các phương pháp dạy học MHH hiệu quả, cũng như các công cụ và tài liệu hỗ trợ cho việc dạy và học MHH. Các nghiên cứu cũng nên tập trung vào việc tích hợp MHH vào các môn học khác, để giúp HS thấy được sự liên kết giữa các môn học và sự hữu ích của toán học trong cuộc sống.